ゲーデルの不完全性定理の思想的背景
数学基礎論の勃興
20世紀初頭、数学は新たな危機に直面していました。集合論のパラドックスの発見は、数学の基礎の曖昧さを露呈し、数学者たちはその厳密な基礎付けを求めていました。この動きは、「数学基礎論」と呼ばれる新しい分野を生み出しました。数学基礎論は、数学全体の基礎を明確化し、矛盾のない確固たるものとすることを目的としていました。
ヒルベルトのプログラムと形式主義
ドイツの数学者ダフィット・ヒルベルトは、この動きの中心人物でした。彼は、数学を完全に形式化することを目指す「ヒルベルト・プログラム」を提唱しました。形式化とは、数学的推論を記号操作の体系に置き換えることを意味します。ヒルベルトは、適切に形式化された体系であれば、矛盾が生じ得ないばかりか、あらゆる数学的命題の真偽を機械的に判定できると考えていました。この立場は「形式主義」と呼ばれます。
ゲーデルの登場と不完全性定理
クルト・ゲーデルは、ウィーン学団の一員であり、論理学と数学基礎論の研究に没頭していました。彼は、ヒルベルトの形式主義に深い興味を抱きながらも、その限界を証明することになります。1931年、ゲーデルは「プリンキピア・マテマティカ及び関連する体系における形式的に決定不可能な命題について」と題する論文を発表しました。この論文で示されたのが、後に「ゲーデルの不完全性定理」と呼ばれることになる二つの定理です。
第一不完全性定理
第一不完全性定理は、「自然数論を含む程度に複雑な形式体系は、その体系内で証明も反証もできない命題を必ず含む」というものです。つまり、どんなに完全であろうとする形式体系にも、その体系の枠内では真偽を決定できない命題が必ず存在することを意味します。
第二不完全性定理
第二不完全性定理は、「自然数論を含む程度に複雑な無矛盾な形式体系は、自身の無矛盾性を証明できない」というものです。これは、ヒルベルトが目指した、数学の無矛盾性を数学自身によって証明することは不可能であることを示唆しています。
ゲーデルの不完全性定理は、数学基礎論に大きな衝撃を与え、ヒルベルト・プログラムの限界を明らかにしました。数学は、完全に形式化され、機械的に真偽を判定できる体系としては構築できないということが明らかになったのです。