## ラッセルの数理哲学序説に関連する歴史上の事件
第一次世界大戦と論理実証主義の誕生
ラッセルの**数理哲学序説** (1919) は、第一次世界大戦終結直後に出版されました。 この戦争は、ヨーロッパ社会に大きな衝撃を与え、進歩に対する楽観的な見方を打ち砕きました。戦争の恐怖を目の当たりにした人々は、理性と論理の限界を痛感し、新たな思想を求めるようになりました。
このような時代背景の中、ウィーン学団を中心とする論理実証主義が台頭しました。彼らは、形而上学や倫理学など、経験的に検証できない命題は、意味を持たないと主張し、科学的な方法に基づいた知識の確立を目指しました。ラッセル自身は論理実証主義者ではありませんでしたが、彼の論理学と数学の基礎に関する研究は、論理実証主義者に大きな影響を与えました。特に、**数理哲学序説** で展開された、数学を論理学に還元しようとする論理主義の試みは、論理実証主義の思想的基盤の一つとなりました。
数学基礎論の危機とヒルベルトのプログラム
19世紀末から20世紀初頭にかけて、数学の基礎に関する深刻な問題が明らかになりました。例えば、集合論におけるラッセルのパラドックスは、当時の数学の基礎に矛盾が含まれている可能性を示唆し、数学界に大きな衝撃を与えました。
このような状況を打開するために、ドイツの数学者ダフィット・ヒルベルトは、数学を有限個の公理と推論規則からなる形式体系に還元し、その無矛盾性と完全性を証明しようとする計画を提唱しました。これは「ヒルベルトのプログラム」と呼ばれ、当時の数学者たちの注目を集めました。ラッセルもまた、ヒルベルトのプログラムに共感し、**数理哲学序説** において、数学の論理的基礎付けを目指しました。
ゲーデルの不完全性定理と数学基礎論の転換
1931年、オーストリアの数学者クルト・ゲーデルは、ヒルベルトのプログラムに深刻な打撃を与える2つの定理を発表しました。ゲーデルの不完全性定理は、自然数論を含む程度の形式体系においては、その体系内で証明も反証もできない命題が必ず存在することを示しました。
この定理は、数学を完全かつ無矛盾な形式体系に還元するというヒルベルトのプログラムが、本質的に不可能であることを意味していました。ラッセルの論理主義もまた、ゲーデルの不完全性定理によって大きな影響を受けました。彼の**数理哲学序説** で展開された論理主義のプログラムは、修正を余儀なくされ、数学の基礎に関する議論は、新たな局面を迎えることになりました。