## ニュートンの自然哲学の数学的諸原理（プリンキピア）の対称性
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運動の法則における対称性
ニュートンの運動の三法則は、それ自体にいくつかの対称性を含んでいます。
* **第一法則（慣性の法則）**: この法則は、空間の等方性を示唆しています。つまり、物理法則はすべての方向に対して同一に作用します。静止している物体は、外力が働かない限り、あらゆる方向に対して静止状態を保ちます。
* **第二法則（運動方程式）**: この法則は、時間反転対称性を持ちます。つまり、時間の方向を反転させても（t を -t に置き換えても）、方程式は成立します。
* **第三法則（作用・反作用の法則）**: 二つの物体間の相互作用は常に等しく、逆向きであることを示しています。これは、空間における並進対称性を意味します。つまり、物理法則は宇宙のどこで成立しても同じように作用します。
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万有引力の法則における対称性
プリンキピアの中心となる万有引力の法則にも、いくつかの重要な対称性が見て取れます。
* **球対称性**: 万有引力は、質点を中心とした球対称な形で作用します。これは、ある質点から等距離にあるすべての点において、重力の大きさが等しいことを意味します。
* **回転対称性**: 万有引力の法則は、任意の軸周りの回転に対して不変です。
* **並進対称性**: 万有引力の法則は、空間内の任意の平行移動に対して不変です。
これらの対称性は、万有引力が距離のみに依存し、方向には依存しないことを示しています。
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対称性の帰結
プリンキピアに現れるこれらの対称性は、物理学において深い意味を持ちます。
* **保存則**: ネーターの定理によれば、物理法則の対称性は、対応する物理量の保存則を導きます。例えば、時間反転対称性はエネルギー保存則に、並進対称性は運動量保存則に、回転対称性は角運動量保存則に、それぞれ対応しています。
* **問題の簡略化**: 対称性を認識し、利用することで、複雑な物理現象をより簡単に解析することができます。例えば、惑星運動の問題は、万有引力の法則の球対称性を利用することで、大幅に簡略化することができます。
これらの対称性は、ニュートン力学の枠組みを超えて、現代物理学においても重要な役割を果たしています。