ゲーデルの不完全性定理の原点
数学の無矛盾性
19世紀末から20世紀初頭にかけて、数学は大きな発展を遂げました。しかし、それと同時に、集合論のパラドックスなど、数学の基礎に関する問題も明らかになってきました。こうした問題意識から、数学者たちは数学の基礎をより強固なものにしようと試みました。その試みの一つが、数学の無矛盾性を証明することでした。
ヒルベルト・プログラム
ドイツの数学者ダフィット・ヒルベルトは、数学の基礎を形式的な公理系の上に築き、その公理系が矛盾を含まないことを証明することで、数学全体の無矛盾性を示そうとしました。これが「ヒルベルト・プログラム」です。ヒルベルト・プログラムは、数学を形式的な記号の体系とみなし、その体系内で証明できることと証明できないことを明確に区別することで、数学の基礎を固めようとする試みでした。
ゲーデルの登場
1931年、オーストリアの数学者クルト・ゲーデルは、2つの重要な定理を発表し、ヒルベルト・プログラムに大きな影響を与えました。これが「ゲーデルの不完全性定理」です。ゲーデルは、算術を含む程度に強力な形式体系においては、その体系が無矛盾であれば、真であるが証明不可能な命題が必ず存在することを証明しました。
不完全性定理の影響
ゲーデルの不完全性定理は、ヒルベルト・プログラムが目指していた、数学の無矛盾性を数学自身の方法で完全に証明することは不可能であることを示しました。言い換えれば、どんなに完全な公理系を構築しても、その公理系では証明できない命題が必ず存在することを意味します。