ラッセルの数理哲学序説の仕組み

## ラッセルの数理哲学序説の仕組み

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ラッセルの目的

ラッセルは本書の序文において、数学の論理的基盤を明確化することを目的としています。彼は、数学の諸概念を論理学の用語のみを用いて定義し、数学の諸定理を論理学の公理と推論規則から導き出すことを目指しました。これは、当時の数学界において支配的であったカント哲学の影響を受けた直観主義に対抗するものでした。

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論理主義の立場

ラッセルのこの試みは、論理主義と呼ばれる数学の哲学の一派に属します。論理主義は、数学は論理学の一分野に還元可能であると主張します。ラッセルは、この立場を擁護するために、数学の基礎となる集合論を論理学的に基礎付けようとしました。

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型理論と集合論のパラドックス

しかし、ラッセルは、集合論を展開する過程で、いわゆる「ラッセルのパラドックス」を発見します。これは、自身を要素として含まないような集合を考えると矛盾が生じるというものです。このパラドックスを回避するために、ラッセルは「型理論」と呼ばれる理論を導入します。型理論では、集合とその要素に異なる「型」を割り当てることで、自己言及的な集合の構成を禁止します。

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数と自然数の定義

ラッセルは、型理論に基づいて、数と自然数の定義を試みます。彼は、数を「等しい数の要素を持つ集合の集合」として定義します。例えば、「2」という数は、2つの要素を持つすべての集合を含む集合として定義されます。さらに、自然数は、空集合を「0」とし、後者関数を使って順次定義されます。

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数学の諸分野への応用

ラッセルは、これらの定義に基づいて、算術、解析学、幾何学など、数学の様々な分野の論理的基礎付けを試みます。彼は、数学の諸定理が論理学の公理と推論規則から導き出せることを示すことで、論理主義の立場を擁護しようとしました。

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ホワイトヘッドとの共著

ラッセルは、この壮大な計画を一人で遂行することはできませんでした。彼は、共同研究者であるアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドと共に、3巻からなる大著『プリンキピア・マテマティカ』を執筆し、論理主義の立場から数学の基礎付けを試みました。

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