## ゲーデルの不完全性定理の入力と出力
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入力
ゲーデルの不完全性定理の「入力」を理解するには、まずそれが数学的な体系についての定理であることを理解する必要があります。具体的には、以下のような体系が入力となります。
* **形式体系:** 形式体系とは、記号、公理、推論規則を明確に定義した数学的な体系です。記号は数学的な対象を表し、公理は証明なしに真であるとされる基本的な命題、推論規則は公理や他の命題から新たな命題を導き出すための規則です。
* **算術の能力を持つ形式体系:** ゲーデルの不完全性定理は、自然数とそれらに対する演算（加算、乗算など）を表現し、扱うことができるだけの表現力を持つ形式体系に適用されます。つまり、自然数に関する基本的な算術の命題を表現し、証明できる体系です。
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出力
ゲーデルの不完全性定理は、上記のような入力に対して、以下の様な「出力」、つまり結論を主張します。
* **真であるが証明不可能な命題の存在:** 算術の能力を持つどんな形式体系においても、その体系内で真であると証明できない命題が存在します。言い換えれば、体系内で真偽を判定できない命題が必ず存在します。
* **自身の無矛盾性の証明不可能性:** 算術の能力を持つ無矛盾な形式体系は、自身の無矛盾性をその体系内で証明することができません。つまり、体系が無矛盾であっても、その体系自身を使って矛盾を導き出せないことを証明することは不可能です。
これらの出力は、形式体系の限界を示すものであり、数学の基礎に関する深い洞察を与えました。