## ラッセルの数理哲学序説に匹敵する本
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プリンキピア・マテマティカ
ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドによって書かれた *プリンキピア・マテマティカ* (1910-1913)は、数学の基礎を論理学に基づいて築こうとした記念碑的な著作です。全3巻からなり、その膨大な量と難解さで知られています。
*プリンキピア・マテマティカ* は、数学における記号論理学の使用を推し進め、集合論のパラドックスを回避するための型理論を導入しました。その影響は数学の基礎だけでなく、論理学、哲学、計算機科学など多岐に渡ります。
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数学の基礎
ダフィット・ヒルベルトによって提唱された数学の基礎付けプログラムを体系的にまとめた著作です。ヒルベルトは、数学の無矛盾性と完全性を証明することを目指し、そのために形式的な公理系と記号論理学を用いた厳密な証明論を構築しようとしました。
ヒルベルトのプログラムは、クルト・ゲーデルの不完全性定理によってその限界が示されましたが、数学の基礎に関する研究に大きな影響を与えました。
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集合論
ゲオルク・カントールによって創始された集合論は、現代数学の基礎をなす重要な理論です。集合論は、集合の概念を用いて、数、関数、関係などを定義し、数学の様々な分野を統一的に扱うことを可能にしました。
カントールの集合論は、その革新性ゆえに当初は多くの数学者から反発を受けましたが、20世紀初頭には数学の基礎として広く認められるようになりました。
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ゲーデルの不完全性定理
クルト・ゲーデルが1931年に証明した不完全性定理は、数学の基礎に関する研究に衝撃を与えた重要な定理です。第一不完全性定理は、自然数を含む程度の十分に強力な形式体系において、証明も反証もできない命題が存在することを示しました。
ゲーデルの不完全性定理は、ヒルベルトのプログラムが本質的に不可能であることを示すと解釈され、数学の基礎に関する認識を大きく変えました。