ピュタゴラスの黄金律のメカニズム

ピュタゴラスの黄金律のメカニズム

ピュタゴラスの定理

ピュタゴラスの黄金律は、現代ではピュタゴラスの定理として知られており、直角三角形の3辺の長さの関係を表すものです。具体的には、直角三角形の斜辺の長さの2乗は、他の2辺の長さの2乗の和に等しくなります。これを式で表すと以下のようになります。

a² + b² = c²

ここで、

* a, b は直角三角形の2辺の長さ
* c は斜辺の長さ

証明

ピュタゴラスの定理には、歴史的に多くの証明方法が知られています。ここでは、特に直感的に理解しやすい、面積を用いた証明方法を紹介します。

1. まず、一辺の長さが a + b の正方形を考えます。
2. この正方形の中に、斜辺の長さが c となるような直角三角形を4つ配置します。
3. 正方形の面積は (a + b)² で表すことができます。
4. 一方、正方形の面積は、4つの直角三角形の面積と、中央に残った小さな正方形の面積の和と等しくなります。
5. 4つの直角三角形の面積の和は 4 * (1/2) * a * b = 2ab となります。
6. 中央の正方形の一辺の長さは c なので、面積は c² となります。
7. 以上より、(a + b)² = 2ab + c² という式が成り立ちます。
8. 左辺を展開すると、a² + 2ab + b² = 2ab + c² となります。
9. 両辺から 2ab を引くと、a² + b² = c² が導かれます。

適用範囲

ピュタゴラスの定理は、直角三角形にのみ適用されます。鋭角三角形や鈍角三角形には適用できません。

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読書意欲が高いうちに読むと理解度が高まります。