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ニュートンの自然哲学の数学的諸原理(プリンキピア)の対称性

## ニュートンの自然哲学の数学的諸原理(プリンキピア)の対称性

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運動の法則における対称性

ニュートンの運動の三法則は、それ自体にいくつかの対称性を含んでいます。

* **第一法則(慣性の法則)**: この法則は、空間の等方性を示唆しています。つまり、物理法則はすべての方向に対して同一に作用します。静止している物体は、外力が働かない限り、あらゆる方向に対して静止状態を保ちます。
* **第二法則(運動方程式)**: この法則は、時間反転対称性を持ちます。つまり、時間の方向を反転させても(t を -t に置き換えても)、方程式は成立します。
* **第三法則(作用・反作用の法則)**: 二つの物体間の相互作用は常に等しく、逆向きであることを示しています。これは、空間における並進対称性を意味します。つまり、物理法則は宇宙のどこで成立しても同じように作用します。

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万有引力の法則における対称性

プリンキピアの中心となる万有引力の法則にも、いくつかの重要な対称性が見て取れます。

* **球対称性**: 万有引力は、質点を中心とした球対称な形で作用します。これは、ある質点から等距離にあるすべての点において、重力の大きさが等しいことを意味します。
* **回転対称性**: 万有引力の法則は、任意の軸周りの回転に対して不変です。
* **並進対称性**: 万有引力の法則は、空間内の任意の平行移動に対して不変です。

これらの対称性は、万有引力が距離のみに依存し、方向には依存しないことを示しています。

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対称性の帰結

プリンキピアに現れるこれらの対称性は、物理学において深い意味を持ちます。

* **保存則**: ネーターの定理によれば、物理法則の対称性は、対応する物理量の保存則を導きます。例えば、時間反転対称性はエネルギー保存則に、並進対称性は運動量保存則に、回転対称性は角運動量保存則に、それぞれ対応しています。
* **問題の簡略化**: 対称性を認識し、利用することで、複雑な物理現象をより簡単に解析することができます。例えば、惑星運動の問題は、万有引力の法則の球対称性を利用することで、大幅に簡略化することができます。

これらの対称性は、ニュートン力学の枠組みを超えて、現代物理学においても重要な役割を果たしています。

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