ゲーデルの不完全性定理の選択
ゲーデルの不完全性定理とは
ゲーデルの不完全性定理は、数学の基礎に関する二つの重要な定理です。1931年にクルト・ゲーデルによって証明されました。これらの定理は、特定の形式体系において、証明も反証もできない命題が存在することを示しています。
第一不完全性定理
第一不完全性定理は、自然数論を含む程度に強力な形式体系において、真であるが証明不可能な文が存在することを主張しています。つまり、その体系内で真であると証明することも偽であると証明することもできない文が存在するということです。
第二不完全性定理
第二不完全性定理は、第一不完全性定理の帰結の一つです。これは、自然数論を含む程度に強力な無矛盾な形式体系において、その体系自身の無矛盾性を証明することができないことを主張しています。
不完全性定理の影響
ゲーデルの不完全性定理は、数学の基礎に大きな影響を与えました。これらの定理は、数学の完全性と無矛盾性を証明するというヒルベルト・プログラムの目標が達成不可能であることを示唆しています。