ゲーデルの不完全性定理のテクスト
ゲーデルの第一不完全性定理
ゲーデルの第一不完全性定理は、「自然数論を含む程度に強い形式体系は、無矛盾であれば自身の無矛盾性を証明できない」という定理です。つまり、ある程度の複雑さを持つ数学的な体系において、その体系が無矛盾である（矛盾した命題を証明できない）ことを、その体系自身の中では証明できないということです。
ゲーデルの第二不完全性定理
ゲーデルの第二不完全性定理は、第一不完全性定理をさらに推し進めたもので、「自然数論を含む程度に強い無矛盾な形式体系は、自身の無矛盾性を証明できない」という定理です。つまり、第一不完全性定理と同様に、ある程度の複雑さを持つ数学的な体系において、その体系が無矛盾であることを証明するためには、その体系の外にあるより強い体系が必要となるということです。
証明の概要
ゲーデルは、これらの定理を証明するために、数論の命題を符号化して、それ自身に関する言明を表現できるような巧妙な方法を考案しました。具体的には、ゲーデルは「ゲーデル数」と呼ばれる数を用いて、形式体系内の記号、論理式、証明を自然数に対応させました。そして、この符号化を用いることで、「この文は証明できない」というような自己言及的な文を表現する命題を構成しました。
影響
ゲーデルの不完全性定理は、数学の基礎に関する哲学的な議論に大きな影響を与えました。特に、ヒルベルトが提唱した「数学の完全性と決定可能性」というプログラムに対して、否定的な結論を突きつけた点で重要です。