## ゲーデルの不完全性定理の話法
ゲーデル数化：数学的命題を数字に変換する
ゲーデルの不完全性定理の証明において、中心的な役割を果たすのが「ゲーデル数化」と呼ばれる手法です。これは、数学的な命題や証明といった形式的な体系の要素一つひとつに、特定の自然数を対応させる方法です。
例えば、記号「+」には1、「=」には2といったように、まず基本的な記号に番号を割り振ります。 そして、「1 + 1 = 2」のような命題は、記号の並びに対応する数の列「1, 3, 1, 2, 2」で表現されます。
さらに、ゲーデルは巧妙な規則を用いることで、この数の列自体を一つの巨大な自然数に符号化します。このようにして、あらゆる数学的命題を唯一の自然数で表現することが可能になります。
メタ数学的命題の構築：数学を数学自身で表現する
ゲーデル数化によって、数学的命題を自然数に変換できるようになりました。 このことを利用して、ゲーデルは「自分自身を証明できない」というメタ数学的な命題を、数論の体系内で表現する方法を考案しました。
具体的には、「命題Pは証明可能である」というメタ数学的命題を、Pのゲーデル数を用いた数論の命題に翻訳します。そして、「自分自身を証明できない」という命題を、数論の体系内で矛盾なく表現できるような、特殊な命題Gを構成します。
対角線論法：自己言及のパラドックスを生み出す
命題Gの構成には、集合論における「対角線論法」と類似した手法が用いられます。 対角線論法は、リスト上の要素を、自己言及的な方法で操作することで矛盾を導き出す論法です。
ゲーデルは、ゲーデル数化を用いることで、命題Gが自分自身のゲーデル数を参照するように構成しました。これにより、命題Gは「自分自身を証明できない」というメタ数学的な自己言及を含む命題となり、数論の体系内に矛盾が生じることが示されます。