## ゲーデルの不完全性定理の仕組み
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不完全性定理とは
ゲーデルの不完全性定理は、1931年にクルト・ゲーデルによって証明された、数学基礎論における極めて重要な定理です。 この定理は、自然数を含む一定以上の複雑さを持つ形式体系において、その体系が無矛盾であれば、証明も反証もできない命題が存在することを示しています。
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形式体系と無矛盾性
**形式体系**とは、公理と呼ばれる前提となる命題と、推論規則と呼ばれる命題を導くための規則からなる体系のことです。 公理は自明な真実とされ、推論規則を用いることで、公理から新たな命題を導き出すことができます。 このようにして導き出された命題を定理と呼びます。
**無矛盾性**とは、ある形式体系において、ある命題とその否定の両方が証明できないという性質です。 もし、ある命題とその否定の両方が証明できてしまうと、その形式体系は矛盾を含んでいることになり、あらゆる命題が証明できてしまいます。
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ゲーデルの証明の概要
ゲーデルは、形式体系内で「自分自身は証明できない」という自己言及的な命題を構成しました。 この命題を **G** とします。 そして、以下の論理を展開しました。
1. **Gが証明可能だと仮定する**
– もしGが証明可能なら、Gは真であることを意味します。
– しかし、Gの内容は「自分自身は証明できない」なので、Gは偽であることになります。
– これは矛盾です。
2. **Gが反証可能だと仮定する**
– もしGが反証可能なら、Gは偽であることを意味します。
– しかし、Gの内容は「自分自身は証明できない」なので、Gは真であることになります。
– これは矛盾です。
上記より、Gは証明も反証もできないことがわかります。つまり、形式体系が無矛盾であれば、Gのような決定不能な命題が必ず存在することになります。
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ゲーデル数
ゲーデルは、形式体系内の記号や命題を自然数に対応付ける「ゲーデル数」という概念を導入しました。 これにより、命題についての命題を、数についての命題として表現することが可能になります。 つまり、形式体系自体を、その形式体系内で表現することが可能になるのです。
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不完全性定理の意義
ゲーデルの不完全性定理は、数学の完全性と無矛盾性を証明しようとしていた当時の数学基礎論に大きな衝撃を与えました。 この定理は、どんなに完全な形式体系を構築しようとしても、その体系内では証明できない命題が必ず存在することを示しているからです。
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